Методики составления оптимального портфеля и прогнозирования его доходности с учетом риска и прочих значимых характеристик

В данной части автор предложит Вам, Уважаемый читатель, разработанную им методику, которая дополняет общую теорию портфеля и позволяет более качественно прогнозировать риски.

Трендовый метод

Трендовый метод …. Где его только не применяют в финансах.. Конечно же, трендовый метод не мог обойти стороной и проблему прогнозирования банкротства. В отличие от прочих методов, указанный метод никогда не строит жесткую границу, которая бы разделила все компании на банкроты и не банкроты. Трендовый метод определяет тренд…., который может быть позитивным или негативным – и не более того. Трендовый метод описывает многие аспекты деятельности компании: общую динамику балансовой стоимости и ее компонентов, общую динамику рыночной (акционерной) стоимости и ее компонентов, перспективы развития компании в отрасли, взаимосвязь между значимыми компонентами внешней и внутренней среды компании и наиболее значимыми показателями эффективности деятельности фирмы на рынке, например, методом корреляционно-регрессионного анализа. Также трендовый метод описывает множество других компонент. Его задача: выяснить, по какому пути идет развитие компании, и какие тренды там превалируют: позитивные или негативные. Только тренды – и не более того. Задача аналитика состоит в том, чтобы на основании динамических трендов разработать план антикризисных мероприятий, которые могли бы помочь отдельной компании избежать банкротства…. Трендовый метод не показывает, что является «хорошим» для компании, а что – «плохим». Трендовый метод разделяет деятельность компании на ряд компонентов, и отвечает на вопрос, по позитивному, нормальному или негативному сценарию идет развитие бизнес-системы в занимаемом ей сегменте рынка. Разновидностью негативного сценария развития является банкротство.

Рассмотрев трендовый метод в настоящем разделе, Вы, Уважаемый читатель, узнаете, что тренд развития компании стремится к среднему значению. Вы узнаете, что существует среднеквадратическое отклонение, которое определяет трендовый риск развития компании. Вы узнаете о математической коллизии понятий о том, что такое трендовый риск (среднеквадратическое отклонение) и его производные и составляющие: мы изучим три математических школы, которые имеют несколько различные ответы на данные вопросы. Мы с Вами узнаем, что вне зависимости от выбора математической школы и принятия любой коллизии дефиниций, Вы при правильном расчете всегда сможете рассчитать корреляцию, которая показывает зависимость развития одних компонентов от других. Также Вы узнаете, что чтобы определить структуру риска при трендовом методе –используют корреляцию, которая показывает, от каких факторов возникает риск колебания «жизненно важных» показателей деятельности компании и как можно управлять этими факторами. Вы также узнаете, что важным риском деятельности компании на рынке является акционерный риск, который, с одной стороны, показывает риск колебаний рыночной стоимости компании, а с другой стороны – риск портфеля акций, как самого рискового компонента активов любой компании, в особенности банка. Также Вы научитесь рассчитывать и оптимизировать данный риск классическим подходом. И еще будет рассмотрен ряд отдельных аспектов трендового метода.

Трендовый метод основан уже не на вертикальном, но на горизонтальном анализе. Трендовый метод бывает двух типов: трендовый метод по балансу и трендовый метод по рыночной стоимости компании.

Трендовый метод по балансу – это во многом продолжение исследований Вильяма Генри Бивера, который много внимания уделял данному методу и экспертным оценкам, которые из него исходили.

Наверное, самым простым трендовым методом являются следующие методы: статистический анализ и индексный анализ.

Давайте, вместе с Вами начнем со статистического анализа прогнозирования банкротства. Пусть некоторая компания развивается определенное время на рынке. Она выбирает ряд качественных показателей для анализа, которые напрямую связаны с эффективностью осуществляемой ей деятельности. Например, это может быть рыночная стоимость, балансовая стоимость, объемы выручки, себестоимости, операционной или чистой прибыли и так далее. Далее, на основании корреляционно-регрессионного анализа, рассчитывается степень зависимости важных факторов от переменных внешней и внутренней среды компании. Например, если была взята прибыль, то следует рассчитать зависимость от себестоимости, налоговой базы, объема продаж, трендов балансовой и рыночной стоимости компании, уровня экономической нестабильности в макросреде, от трендов развития конкурентов в отрасли и так далее.

Итак, мы с Вами, Уважаемый читатель, вплотную подошли к понятию корреляционно-регрессионного анализа. Корреляция (r) – это выраженная математически линейная зависимость между двумя переменными . Она рассчитывается по формуле: Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

(240)

Следует заметить, что:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (241)

Где: Х и У – это пары переменных, между которыми рассчитывается взаимосвязь; n – количество наблюдений (чем больше наблюдений – тем точнее расчет); Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] – это средние значения наблюдаемых переменных Х и У; Cov (X,Y) – это коэффициент ковариации, который показывает зависимость между двумя переменными; Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] – это среднеквадратические отклонения, которые показывают суммарную величину, на которую в среднем будет отклоняться какой-либо показатель.

За Х необходимо поочередно брать различные значимые для компании переменные. За У – те переменные внешней среды, от которых зависит, как предполагается, или может зависеть тренд или тренды значимых показателей деятельности.

Указанные показатели определяют множество бизнес-параметров деятельности компании и, по мнению автора, должны использоваться при финансовом анализе. Для лучшего закрепления материала по указанным величинам автор предлагает немножко отвлечься и рассмотреть следующий простой пример. Пусть в следующем месяце доход ИП «Стэлла Н.И.» составит с вероятностью 10% (равно 0,1) 12000 руб., с вероятностью 20% 15000 руб., с вероятностью 15% 17000 руб., с вероятностью 15% 19000 руб., с вероятностью 20% 22000 руб., с вероятностью 9% 24000 руб., с вероятностью 11% коммерсант понесет убыток вследствие наступления правового события А в (15000 руб.). Сумма вероятностей должна быть равна 100%, что, собственно, не удивительно: хоть что-то должно случиться в следующем месяце с ИП «Стэлла Н.И.»! Тогда ожидаемый доход ИП «Стэлла Н.И.» составит следующую величину:

0,1*12000+0,2*(15000+22000)+0,15*(17000+19000)+0,09*24000+0,11*(-15000)=14510руб.

Таким образом выглядит расчет средней вероятной доходности компании на рынке (СРВД):

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (242)

Где: Вi – это вероятность получения i-го дохода; Дi – это сумма i-го дохода.

Вы, наверное, меня спросите, как определить вероятность получения или недополучения дохода для некоей фирмы? С точки зрения математики, это самый субъективный расчет. Вероятность каждого события должна быть определена каждым участником рынка самостоятельно. Сегодня многие крупные фирмы даже пытаются создавать нейронные сети, чтобы программировать и рассчитывать вероятности наступления событий…. Но кризиса нейронным сетям рассчитать не удалось! К сожалению!

Предприниматель также оценивает риски получения или недополучения определенной доли прибыли от компании за будущий период или периоды. Поскольку количественные оценки вероятности не всегда достоверны, то фактическое значение прогнозируемой величины может не совпадать с ожидаемым. Отсюда возникает понятие предпринимательского риска. Это самая субъективная сторона оценки проекта, потому что риск оценивается каждым человеком индивидуально, равно как и вероятностные оценки. Вероятность отклонения фактической величины от ожидаемой тем выше, чем шире разброс значений случайной величины. Поэтому, в качестве меры риска, присущего решению с вероятностным исходом, используют так называемое стандартное отклонение (σ) – среднеквадратическое абсолютное отклонение возможных значений случайной переменной от ожидаемого. Анализируя значительный массив эконометрико-статистической литературы по данному вопросу, автор пришел к выводу, что существует три подхода к расчету переменной (σ): вариационный (классический и весовой), информационно-атомарный (классический и весовой) и атомарный (классический и весовой). Для упрощения восприятия нижеследующего материала, автор даст собственную интерпретацию, того, что именно в наилучшей степени показывает каждый подход.

Выбор варианта расчета не влияет на итоговый коэффициент корреляции, которым мы будем с Вами пользоваться при анализе. Главное, чтобы отклонение, среднее и ковариация была рассчитана в традициях той же математической школы.

Вариационный подход к анализу[2] . Он подразделяется на два типа подхода: классический и весовой.

Классический подход к вариационному анализу: Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

(243)

Где: Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] - это среднее значение параметра Х, рассчитанное по формуле (241); Xi – это значение i-го параметра.

В приведенном примере риск для предприятия не получить прибыль в будущем периоде с наибольшей вероятностью составит:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Указанная величина 32402 показывает нам среднее вероятностное отклонение суммы ожидаемого дохода указанного ИП в будущем месяце. То есть, ИП получит 14510 руб. дохода в следующем периоде. Однако с высокой вероятностью указанная величина будет колебаться в пределах от –1691 до +30711 руб. дохода. Столь высокое колебание вероятностей получения дохода вызвано вероятностью получения убытка в следующем месяце.

Наряду с абсолютным среднеквадратическим отклонением (σ) в анализе используют и некоторые иные виды среднеквадратического отклонения. Абсолютное среднеквадратическое отклонение призвано показать максимальный вероятностный разброс отклонений от средней ожидаемой величины прибыли. Однако, если нужно оценить наиболее вероятную величину отклонения (а не общего разброса как при расчете (σ)), то используют показатель стандартного среднеквадратического отклонения (σС)[3] : Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

(244)

Где: Аi – это вероятность получений каждого i-го значения параметра Х.

Вышеприведенный расчет соответствует весовому подходу к вариационному анализу. Так, например, показатель стандартного среднеквадратического отклонения для ИП «Стэлла Н.И.» составит величину:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Данная величина характеризует уже не общий вероятностный, а наиболее вероятностный разброс уровня дохода для ИП «Стэлла Н.И.»: +/- 5471 руб. от величины средней ожидаемой доходности.

Однако наряду с вариационным подходом существует и информационно-атомарный подход[4] , который также состоит из классического и весового суб-подходов. Указанный подход базируется на теории избегания излишней математической информации, и он несет в себе показатель n1 наблюдения. Теория просто от него избавляется, превращая в показатель (n–1), понимая, что он не несет в себе никакой информационной нагрузки, поскольку может быть легко вычислен из самого алгоритма расчета. Атомарность подхода заключается в том, что он рассчитывает справедливую величину отклонения уже не для всей совокупной выборки, а для отдельного атомарного («неделимого», «независимого») элемента.

Классическая школа информационно-атомарного подхода предполагает следующий расчет абсолютного среднеквадратического отклонения: Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

(245)

Так, для нашего ИП «Стэлла» величина среднеквадратического отклонения составит: Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Указанная величина характеризует наиболее вероятное отклонение не на величину отклонения общего, а отклонение из расчета на единицу параметра. Понятно, что общее отклонение в руб. примерно соответствует общему отклонению на 1 вероятностный тип развития сценария в будущем.

Весовой подход в рамках информационно-атомарной школы предполагает: Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

(247)

Для ИП «Стэлла Н.И.» указанная величина будет равна 4467 руб. В соответствии с информационно-атомарным подходом, указанная величина будет отражать наиболее вероятностный разброс параметров выручки в будущем периоде.

Кроме информационно-атомарного подхода существует и просто атомарный подход[5] . Указанный подход базируется на том, что, несмотря на выводимость первой переменной n в числе наблюдений, ее, тем не менее, следует учитывать при расчете, чтобы расчет стал наиболее объективным. В рамках атомарного подхода также существует два суб-подхода: классический и весовой.

Классический подход предполагает расчет абсолютного среднеквадратического отклонения по формуле:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

(248)

Для нашего ИП «Стэлла Н.И.» величина разброса дохода при использовании указанного подхода составит: 12199 руб.

Наряду с классическим, существует и весовой суб-подход в рамках атомарной школы, который предписывает расчет стандартного отклонения:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (249)

Для ИП «Стэлла Н.И.» величина наиболее вероятностного отклонения дохода составит: 4136 руб.

Я хочу акцентировать Ваше внимание на освещении вопросов, относительно школ расчета основных величин анализа динамики и вероятности. Как видно, от выбора школы расчета существенно меняется результат. Автор для наглядности использовал в качестве вероятностной компоненты убыток, чтобы показать палитру разброса вариаций, в зависимости от выбора типа школы и суб-школы при расчете указанных величин. В нашем примере палитра разброса среднеквадратического отклонения составила: от 4136 руб. до 32402 руб. Итак, давайте поговорим о том, какую математическую школу стоит выбрать при бизнес - расчетах?

Автору думается, что вариационный подход в наилучшей степени отражает специфику варианта разброса значений. Однако выбор математической школы – это всегда процесс субъективный. Давайте лучше проанализируем то, на что влияет выбор математической школы.

Выбор метода расчета среднеквадратического отклонения существенным образом влияет на расчет коэффициента ковариации, который рассчитывается следующим образом.

Ковариация при весовом вариационном подходе равна:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (250)

Или, в случае, если используется классический вариационный подход, равна:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (251)

При информационно-атомарном подходе ковариация рассчитывается по формуле:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (252)

А при атомарном подходе – расчет ковариации сводится к:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (253)

На что влияет указанный расчет? Ковариация показывает зависимость между двумя переменными. Однако, при определении зависимости двух переменных, на помощь приходит коэффициент корреляции (r), который при выборе любого математического подхода всегда сойдется между всеми школами и всеми подходами. Корреляция (r) – это отношение ковариации к произведению среднеквадратических отклонений двух переменных. Схожесть определяется за счет нижеследующего свойства дроби:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (254)

То есть, выражение (254) показывает, что при любом искажении числителя и знаменателя дроби на равную величину (α) /только умножением или делением/, значение дроби останется неизменным. Так, 1/3 – это то же самое, что 2/6, и то же самое, что 3/9 – результат получится одинаковый. Аналогично происходит и при расчете коэффициента корреляции – результат получается один, если при расчете ковариации и среднеквадратического отклонения каждой переменной применялся один и тот же метод в рамках одной и той же математической школы!

А теперь, давайте вернемся к разговору об определении среднеквадратического отклонения при анализе компании на рынке. Автор предлагает использовать вариационный подход, с ориентацией на классический вариационный подход. Во-первых, такой подход не требует расчета вероятностного распределения. Во-вторых, такой расчет существенно более простой в расчете и распространяет величину отклонения на всю совокупность событий, а не в расчете на одно среднее событие.

Итак, при классическом вариационном подходе у ИП «Стэлла» средний доход составлял 14510 руб., с среднеквадратическое отклонение – 32402 руб.

Если величину среднеквадратического отклонения (σ ) разделить на наиболее вероятностную величину прибыли, то мы получим коэффициент вариации :

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (255)

В данном примере этот коэффициент равен: Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] .

Столь существеннейшее значение коэффициента вариации показывает, что разброс значений в будущем настолько велик, что существует существенный риск для указанного ИП не получить ожидаемую среднюю сумму дохода в будущем месяце. Если мы возьмем иные значения среднеквадратических отклонений, то мы получим средний риск. Данная величина коэффициента вариации показывает абсолютный риск.

С помощью коэффициента вариации можно оценивать жесткость конкуренции на рынке и стабильность положения компании на нем. Если коэффициент вариации существенен, то это, вероятно, говорит, с одной стороны, о жесткости конкуренции, с другой стороны, о нестабильности положения компании на рынке. Однако в любом случае, чтобы утверждать данные положения более обоснованно – нужен дополнительный анализ рынка и маркетинговой стратегии компании. Данную тему мы с Вами затронем немного попозже.

В расчетах часто используется величина дисперсии (D или σ2) /теоретической величины разброса значений/, которая равна среднеквадратическому отклонению в квадрате:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (256)

Иногда при более сложных расчетах, например, при планировании портфеля, требуется вычислить сумму дисперсии двух переменных, которая равна:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (257)

Где: a и b – это константы, то есть, числа. Х и У – это сами переменные, зависимости и иные отношений которых определяются. r – это коэффициент корреляции, расчет которого мы с Вами уже рассматривали. Чаще всего констант a и b в сумме дисперсии двух переменных не бывает, то есть, они равны 12 = 1. В данном случае, в формулу (257) вместо переменных a и b следует поставить 1, то есть, таким образом они опускаются в расчете.

Также важной является формула суммы разложения двух средних:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (258)

Где: a и b – это константы, то есть, числа. Х и У – это сами переменные, среднее которых вычисляется. Иногда констант a и b в сумме средних двух переменных не бывает, то есть, они равны 12 = 1. В данном случае, в формулу (258) вместо переменных a и b следует поставить 1, то есть, таким образом они опускаются в расчете.

Вы, вероятно, меня спросите: Как это применяется при анализе и прогнозировании банкротства? Применяется это следующим образом. На западе большинство компаний носят форму собственности ОАО. Также значительную часть прибыли компании вкладывают в акционерный рынок. Специфика акционерных операций такова, что в одном периоде они могут принести существенный доход, а в другом – существенный убыток, который может даже обанкротить какую-либо компанию. В данном случае чаще всего применяют оптимизацию риска. Первым, кто придумал оптимизировать риски, был Гарри Марковиц. Гарри Марковиц (Harry Markowitz) родился в Чикаго в 1927 году и был единственным ребенком в семье. С детства он играл на скрипке и любил чтение. В старших классах он приобрел интерес к физике и астрономии, а также к философии. После получение степени бакалавра в университете Чикаго, Г. Марковиц решает выбрать своей специализацией экономику. После обучения он выбирает темой свей докторской диссертации применение математики при прогнозировании трендов движения ценных бумаг.
Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] Гарри Марковиц
Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] Джон Бюр Вильямс
В то время ценные бумаги оценивали преимущественно при помощи методики приведения к сегодняшней стоимости по PV, так называемый метод NPV – Net Present Value, «чистой приведенной стоимости». Данный метод был разработан Джоном Бюром Вильямсом (John Bur Williams) (1900 – 1989) в 1938 году. Это было темой его докторской диссертации по экономике: «Теория инвестиционной стоимости». В данной диссертации Д.Б. Вильямс выдвинул теорию NPV и теорию разбиения инвестиционной деятельности на денежные потоки (CF – Cash flow – «денежный поток»), которые он затем дисконтировал.

Думаю, Вы, Уважаемый читатель, знакомы с теорией Джона Б. Вильямса?! Гарри Марковиц практически сразу замечает слабое место указанной теории: она не уделяет должного внимания риску…! В 1952 году Г. Марковиц создает теорию портфельного анализа риска, применяя методы теории вероятностей, математической статистики и матричной алгебры. Его статья принесла ему мировую известность. Однако теория тогда была еще не доработана им. Перед ним тогда встал вопрос: как оптимизировать портфель, состоящий не из 2 – 3 ценных бумаг, но из количества ценных бумаг n. В 1952 году он начинает работу в корпорации RAND, где он знакомится с математиком Джорджом Данцигом. В 1955 году новая доработанная теория Г. Марковица легла в основу его докторской диссертации, которую он успешно тогда защитил в университете Чикаго. Однако его тема была так нова тогда для экономики, что председатель диссертационного совета Милтон Фридман (основатель теории Монетаризма вместе с Анной Шварц, лауреат Нобелевской премии по экономике) на защите заявил: «какое отношение эта диссертация может вообще иметь хоть к какому-то разделу экономики?!». Однако лишь в 1959 году его теория портфеля приобрела современный вид в книге Гарри Марковица «Выбор портфеля: эффективная диверсификация инвестиций», где он описал теорию, применимую не только для ценных бумаг, но для инвестиций вообще. В настоящее время Гарри Марковиц преподает в университете Калифорнии в Сан-Диего. Он является Лауреатом Нобелевской премии по экономике (1990г.). Его интересы немного изменились с того времени. Сегодня он занимается разработкой программного обеспечения по оптимизации рисков различных форм. В особенности, его нынешним интересам соответствует хеджирование.

Сегодня существует множество вариаций расчета риска портфеля по Г. Марковицу. Сам Гарри Марковиц использовал метод построения ковариативной матрицы наблюдений. Давайте посмотрим, что это такое, на примере. Пусть у некоего ОАО «Прометей» (А) существует прямой конкурент ОАО «Совтек» (Б). Оба размещают акции. За год наблюдений за колебаниями курсов акций было установлено, что когда курс акций (Рср.) А составлял 100у.е. за акцию, курс акций Б составлял 200у.е. за акцию в 5% всех случаев. Аналогично этому в ходе исследований колебаний курсов акций была составлена ковариативная матрица наблюдений:

Ковариативная матрица наблюдений за курсами акций А и Б

 автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Курс акций и ее колебание, как Вы помните, отражает балансовую стоимость компании на рынке. Понятно, что сумма ковариативной матрицы должна равняться 100%. Существует теория математического ожидания, согласно которой математическое ожидание константы стремится к нулю. Так, курс акций не может быть равен, например, 100,00000…. у.е. за акцию никогда – хоть на йоту, но он всегда будет отличаться от указанной величины. Таким образом, при построении ковариативной матрицы используют диапазон значений (например, от 90 до 110 у.е. за акцию), а в графе средней стоимости (Рср.) указывают среднюю указанной величины, то есть, ровно 100, понимая, что за этим числом стоит интервал значений.

Средний курс акций А будет равен: 17%*100+28%*120+26%*80+29%*60 = =88,8у.е. Средний курс акций Б будет равен: 18%*(200+210+280)+ +24%*160+22%*190 = 204,4у.е.

Дисперсия курса акций А от среднего равна: 17%*125,44+28%*973,44+ +26%*77,44+29%*829,44=554,56. Дисперсия курса акций Б от среднего будет равна: 18%*(19,36+31,36+5715,36)+24%*1971,36+22%*207,36=1556,64. Как Вы помните, корень дисперсии равен среднеквадратическому отклонению. Среднеквадратическое отклонение курса акций А равно: 23,549. Среднеквадратическое отклонение курса акций Б равно: 39,45.

Ковариация рассчитывается по формуле: Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Ковариация в данном примере равна: –2,464–9,6096+1,5488+2,5344+1,8816+10,4832–1,9712-8,064+16,9344+47,1744–33,264–195,96–9,9456–124,675+27,35+76,723-8,064–17,9712+7,6032+29,03=–190,72. Так, например, величина –2,464 была рассчитана как 5%*(100–88,8)*(200–204,4)= –2,464. Остальные показатели ковариации были рассчитаны аналогично.

Зная значение данных, рассчитаем корреляцию (r), которая равна отношению ковариации к сумме среднеквадратических отклонений:

–190,72÷(23,549*39,454)= –0,20527.

Давайте разберем теперь то, как читать значение коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до +1. Если значение стремится к +1, то это говорит о существенной связи переменных, о том, что увеличение одного параметра ведет к эквивалентному увеличению другого параметра. В данном примере это бы означало, что увеличение курса акций одной компании приводит к соответствующему увеличению курса акций другой. Если значение коэффициента r стремится к –1, то это говорит о наличии обратной связи линейной зависимости одной переменной от другой. В нашем примере это означало бы, что увеличение курса одной акции вызывает существенное снижение курса другой акции. Чтобы минимизировать риск – желательно составлять портфель из акций с обратной корреляцией. Коэффициент корреляции равный 0 означает, что переменные линейно между собой не связаны. Возможно, существует наличие другого, нелинейного типа связи таких переменных (например, r(Sin2X+Cos2X)=0, однако эти функции связаны: Sin2X+Cos2X=1).

Зная величину корреляции, мы теперь можем сложить дисперсию по формуле (257). Общий риск будет выражаться величиной среднеквадратического отклонения, которая равна корню дисперсии. Сумма средней доходности портфеля из двух акций мы можем вычислить из формулы (258). Возьмем шаг портфеля в 10%. Тогда распределение риска и доходности будет вычисляться в соответствии с приведенной матричной системой Г. Марковица:

Матрица доходности/риска портфеля Гарри Марковица для компаний А и Б

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Доходность портфеля всегда ниже доходности самой доходной ценной бумаги в портфеле. Однако риск портфеля может быть существенно ниже риска ценных бумаг, в него входящих, по отношению к доходности. Из данного примера видно, что если бы инвестор выбирал бы оптимальный портфель из соотношения доходности/риска, то ему следовало бы его составить из примерно 30% акций компании А и 70% акций компании Б. Все это можно представить графически.

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

График: Кривая доходности/риска портфеля

В I квадранте изображена графическая функция доходности/риска (Р/σ). Видно, что доходность портфеля не может быть выше доходности наиболее доходной ценной бумаги портфеля, акции Б. Однако отношение доходности/риска портфеля существенно ниже доходности и риска отдельных ценных бумаг, в него входящих. Оптимальный портфель, с точки зрения риска, достигается при портфеле, состоящем из 70% – 75% акций Б и примерно 30% – 35% акций А. В данном примере риск получился относительно линейным (IV квадрант), а вот функция доходности/риска (I квадрант) – вогнутой, что говорит о снижении функции доходности/риска при оптимальном, с точки зрения риска, портфеле. II квадрант представляет собой проекционную эконометрическую линию, проведенную под углом 45 градусов. В III квадранте, таким образом, проецируется доходность оптимального портфеля. Видно, что доходность и риск изгибаются в точке 169, при этом, в зоне доходности сверх нее и доходность и риск растут существенными темпами. Таким образом, доходность оптимального с точки зрения риска портфеля равна 169 у.е., а его риск равен 34,2у.е..

Однако на практике не все инвестора предпочитают минимальный риск при оптимальной доходности. Некоторые предпочитают рискнуть, а некоторые предпочли бы не оптимизировать портфель по доходности/риску, а взять просто наименее доходную ценную бумагу.

Также не все портфели состоят из всего двух типов ценных бумаг…. В данном случае алгоритм расчета будет несколько иной.

Существует несколько классических подходов определения цены и идеального портфеля ценной бумаги на рынке. Мы с Вами, Уважаемый читатель, рассмотрим три из них: модель CAPM[6] , модель APT, регрессионный матричный анализ.

Начнем мы с Вами с рассмотрения модели CAPM. Модель САРМ была разработана Уильямом Шарпом. Уильям Ф. Шарп В 1955 году Уильям Ф. Шарп (William F. Sharpe) 1 получил степень бакалавра экономики в Калифорнийском университете, г. Лос-Анджелес, США. Буквально через год там же он защищает магистерскую диссертацию. Еще через 5 лет в указанном университете он получает степень доктора экономических наук. В 1961 году он переезжает в Вашингтон, где он получает ставку доцента в Университете Вашингтона. Одновременно с этим, он получает контракт от корпорации Боинг на проведение широкомасштабных исследований. В 1963 году его приглашает корпорация IBM в качестве консультанта. После этого ему удалось поработать на множестве компаний, в том числе, включая помощь в разработке финансовых моделей для компании McKinsey. В 1963-1964 годах выходит серия статей, описывающая модель САРМ. С того времени его модели распространились по всему миру: и в научной среде и в практическом применении. У. Шарп имеет сотни международных наград, при этом, он практически нигде не выделяет, что его модель САРМ получила Нобелевскую премию по экономике (1990/1991). У. Шарп – автор свыше 800 работ по экономике и финансам. Наибольшую популярность ему принесли модель САРМ и алгоритм APSIM, которые позволяют прослеживать ценообразование на финансовых рынках. Сам Уильям Шарп любит называть коэффициент β, являющийся основой модели САРМ, как коэффициент Шарпа.

Теория САРМ предполагает, что на фондовом рынке существует два типа и вида риска: Систематический (определяется макроэкономическими факторами, - это общий рыночный риск для всех акций, находящихся в обращении) и Несистематический (специфичен для данной конкретной компании). Теория предполагает, что существует коэффициент БЭТТА (β), который отражает Амплитуду колебаний доходности акций конкретной компании в сравнении с общей рыночной доходностью на данном рынке ценных бумаг в целом.

Методика оценки капитальных активов делает предположение, что ожидаемая доходность актива зависит только от Систематического риска актива, а не от общего риска (который равен сумме систематического и несистематического). Модель предполагает, что несистематический риск не связан с ожидаемой доходностью актива, поэтому он может быть устранен только за счет диверсификации портфеля активов компании. Также модель предполагает, что рынок совершенен, транзакционные издержки равны нулю. Все инвесторы одинаково оценивают рыночные ставки дохода.

Тогда при данных условиях модели работает формула:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (259)

Где: RСК – Ожидаемая доходность Собственного Капитала; RF – безрисковая ставка доходности на инвестиции; (RM–RF) – премия за риск; RM – средняя рыночная доходность; β – измеритель систематического риска. Указанный коэффициент увязывает доходность оцениваемой компании со средней рыночной доходностью. Давайте вместе с Вами рассмотрим то, как можно рассчитать коэффициент β.

Коэффициент β рассчитывается на основании статистической обработки данных. При этом, рассматривается динамика акций на рынке за сравнительно большой период. Затем, коэффициент β рассчитывается по формуле:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (260)

Где: У – это изменение доходности акций компании; Х – это изменение средней рыночной доходности (обычно берут какой-нибудь индеек: ставку РТС, индекс S&P 500, Dow Jones и так далее); Т – период, число наблюдений, за который берутся данные.

Обычно, β принимает значения от 0,3 до 2, хотя он может быть равен -2.

Если β =1, то R = RM, – это значит, что ожидаемая доходность компании прямо пропорциональна среднерыночной доходности.

Вложения в компании, у которых β>1, определяются как агрессивные инвестиции, риск вложения в которые больше, чем в среднем по рынку. Это значит следующее. Пусть β для некоторой компании равно 1,5. Тогда это значит, что, например, если Индекс Доу-Джонс или РТС при оценке Российской компании, поднялся на 1%, цена акций этой компании поднялась на 1,5%, и наоборот, если Индекс упал на 1%, цена акций упала на 1,5%.

Вложения в компании, у которых β<1, определяются как защищенные от риска инвестиции, риск вложения в них меньше, чем в среднем по рынку, но и доходность обычно тоже меньше. Если же доходность таких компаний выше, чем в среднем по рынку, то эти компании и их акции называются «Голубыми фишками» – высокодоходными низкорискованными компаниями.

Для прочих компаний справедливо следующее. Если коэффициент β равен, например, 0,5. Это значит, что если рыночный Индекс Доу-Джонса или РТС повысится на 1%, акции компании подорожают на 0,5%, но если этот индекс упадет на 1%, акции компании упадут всего на 0,5%. Сельское хозяйство с традиционными цепными отраслями (производство Молока, Хлеба, Мяса, Муки, Зерна, …..) относится к данному типу компаний, поэтому оно является существенно более устойчивым в кризисные времена. β, в среднем, в мире у компаний отрасли сельского хозяйства равно 0,2, то есть, например, падение индекса промышленных товаров на 50% вызовет падение отрасли Сельского хозяйства всего не более чем на 10%! Но, опять же, если в конкретной компании наблюдается воровство, нерациональное производство, старые производственные фонды, – то такое предприятие также тяжело перенесет кризис. Некоторые инновационные отрасли могут иметь низкий показатель β. Недвижимость (не вся) также имеет низким данный показатель – не более 0,3. У компании Кока-Кола, например, этот индекс существенно выше – он равен в среднем 0,7, что также относит компанию к консервативным.

Подавляющее большинство остальных компаний относятся к типу β>1, что означает, что в условиях нормальной экономики они приносят существенные доходы, но в условиях кризиса …. могут потерять все! Поэтому таким компаниям, вероятно, имеет резон диверсифицировать портфель и часть активов хранить в более консервативных сферах экономики.

Таким образом, теория САРМ предлагает оценивать каждую ценную бумагу по отдельности. Из ценных бумаг, риск и доходность которых наиболее устраивают конкретного инвестора, теория предлагает и набирать портфель.

Также можно проводить финансовый анализ и анализ устойчивости некоторой компании на рынке за счет указанной модели. Если коэффициент β>1, то это относит компанию к агрессивным. Если он примерно равен 1 (от 1,3 до 0,85), то такая компания относится к умеренным, с точки зрения доходности и риска. Если коэффициент β<1,то такая компания относится к консервативным – она более устойчива в кризис, но в обычное время развивается не столь стремительными темпами, как прочие компании рынка.

Давайте рассмотрим теперь модель APT[7] .

Следует рассказать несколько слов о появлении указанной теории. Модель Уильяма Шарпа, разработанная в сентябре 1963 года, дала почву для проведения широкомасштабных исследований на рынке ценообразования акций. 13 лет спустя появилась теория, которая явилась логическим продолжением теории САРМ. Стивен Алан Росс Первоначально Стивен Алан Росс (Stephen Alan Ross) Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] не планировал быть финансистом – его больше интересовали точные науки. В 1965 году он получил степень бакалавра (с отличием) по физике. Однако, в то же время, он моментально меняет свои интересы и начинает усиленно изучать экономику. Буквально за 5 лет ему удалось превратиться из бакалавра физики в доктора наук по экономике, защитив в университете Гарварда докторскую диссертацию. Десятки работ на различную тематику появляются у него в это время. Однако вскоре в свет выходят две его теории, которые принесли ему мировую славу: АРТ и теория агентских отношения (Theory of Agency). Однако, также, он является знаменитым теоретиком в области биноминарного ценообразования производных финансовых инструментов. Вместе с тем, ему удалось внести существенный вклад в области анализа проблем ценообразования в условиях нейтрального риска.

Когда карьера Стивена Росса только начиналась, он едва ли задумывался, что станет известным теоретиком в области ценных бумаг. Теория АРТ была разработана Стивеном Россом в 1976 году. В то время он был очень знаменитым финансистом, теоретиком дисциплины, которую мы бы с Вами назвали Финансы предприятий (организаций). В 1975 он практически доработал теорию АРТ, как теорию построения оптимального соотношения активов компании на рынке. Тогда он еще не предполагал, что его теория будет существенно больше применяться на рынке ценных бумаг…. В 1976 – 1980-х годах он предполагает, что нестандартное моделирование САРМ как части АРТ позволяют компании построить и оптимальный портфель, и оптимальную структуру активов. Однако, ведущие финансовые компании США больше заинтересовались его моделями на ценообразование на рынке акций. Десятки его моделей используются сегодня самыми крупными финансовыми корпорациями мира. Особое место среди указанных моделей занимает АРТ, теория арбитражерного ценообразования.

Теория АРТ достаточно сложна для понимания. Потому мы с Вами ограничимся лишь очень кратким рассмотрением ее основ. Данная теория предполагает, что рынок финансов стремится к достижению идеального равновесия. Таким образом, β на каждом рынке акций стремится к 1. Следовательно, пропадает мотив для спекулятивных, или арбитражерных операций на рынке акций.

Вместе с тем, теория предполагает, что ценообразование на рынке акций зависит от макроэкономических индикаторов: ВВП, ВНП, ИПЦ, уровень инфляции, доходность облигаций, и прочих факторов. Таким образом, рыночные колебания доходности портфеля становятся не единственным ценообразующим мотивом, как это предполагается в модели САРМ.

Тогда ожидаемая доходность портфеля равна:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (261)

Где: Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] – это ожидаемая доходность отдельной акции; а0 – это доходность безрисковых вложений; ai – это премия за риск i-го фактора; ui – это волатильность ожидаемой доходности от i-го фактора риска.

Поскольку рынок уравновешивает цену каждой акции с течением времени, выравнивая ее, то резкие колебания цены на акцию, вызывающую спекулятивную или арбитражерную доходность ценной бумаги, то это накладывает определенные условия на приобретение доходного портфеля. Согласно теории, оптимальный портфель должен включать в себя арбитражерные ценные бумаги, то есть ценные бумаги, которые рынок еще не успел уравновесить. Каждое появление арбитражерной партии ценных бумаг зависит от j факторов, которые могут развиваться как минимум по 3-м сценариям каждый: пессимистический, нормальный и оптимистический. Все j факторов, от которых зависит колебания курсов акций разбиваются на отдельные компоненты. По каждой компоненте определяется оптимальный портфель. А затем оптимальный портфель сглаживается математическими преобразованиями таким образом, чтобы он максимально полно описывал все j заложенных в него факторов.

Портфель, зависимый от 1 фактора, при появлении партии арбитражерных ценных бумаг, может стать оптимальным, если:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (262)

Указанная величина – есть доход от операции с ценными бумагами по преобразованию портфеля. РЗА – это рыночная цена замещаемого портфеля акций или акции или иного актива, который выменивается на планируемый оптимальный портфель. Рi – это цена i-го замещаемого актива в обмен на портфель ценной бумаги. Хi – это оптимальная структура i-го актива, который подлежит преобразованию. Xi вычисляется из системы уравнений:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (263)

Переменные g и y означают оптимальные позиции дохода и объема i-го актива портфеля при сценарии развития событий №1. Переменные k и z означают оптимальные позиции дохода и объема i-го актива портфеля при сценарии развития событий №2. Переменные g и y означают оптимальные позиции дохода и объема i-го актива портфеля при сценарии развития событий №3. И так далее.

Давайте, для наглядности, проанализируем нижеследующий пример.

Пусть ожидаемый доход акций азиатских компаний напрямую зависит от фактора ожидаемого экономического роста в странах Азии в следующем месяце. Возможны 3 сценария развития: позитивный (в Азии произойдет существенный рост); нормальный (в Азии все примерно останется на прежнем уровне); пессимистический (Азиатские индексы резко упадут).

Пусть у компании ОАО «Кобальт» имеются портфели Азиатских компаний №1, №2, №3, №4. Условные данные по портфелям компании и их стоимости приведены в таблице:

Таблица: Прогнозирование стоимости портфеля компании по модели АРТ

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] Портфель Текущая цена портфеля, тыс. у.е. Позитивный сценарий Нормальный сценарий Негативный сценарий

Итак, если мы оптимизируем портфель за счет продажи актива №1 то компания имеет возможность заработать следующую сумму арбитражером[8] :

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Итак, оптимальный портфель (ОП) при выборе в качестве привилегированного актива портфеля 1, должен быть построен следующим образом:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (264)

Оптимальность портфеля определяется по формуле (262): Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] , следовательно, такой портфель является более оптимальным, чем имеющийся. Преобразование имеющегося портфеля в оптимальный за счет продажи 52% доли портфеля №2, 47,945% доли портфеля №4 и приобретение дополнительно 195,2% доли портфеля №3, и продажа портфеля №1 принесет компании 0,171205 тыс. у.е. дохода. Но делать это нужно сразу, поскольку теория арбитражера предполагает, что рынок в ближайшее время уравняет справедливую цену на портфели, выровняв их.

Эффект от арбитражера рассчитывается по формуле:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (265)

∑Арб – это сумма заработанного компанией арбитражера. ∑А – это сумма проданного актива для оптимизации портфеля.

В нашем примере эффект от применения арбитражера составит 0,1%. Это является нормальным дополнительным доходом компании, что также минимизирует риск более оптимального портфеля. Чем ниже риск и выше доход – тем всегда лучше для компании! Иногда компания может заработать на оптимизации портфеля значительное состояние или избежать значительных потерь….

Однако следует также рассчитать альтернативы. А если компания ОАО «Кобальт» продаст вместо портфеля №1 иной портфель, не получит ли она больший арбитражерный доход от оптимизации портфеля? Проверим это на следующем расчете. Пусть ОАО «Кобальт» продаст портфель №2. Тогда арбитражерный доход составит:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Это второй вариант оптимального портфеля, арбитражер которого равен:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Поскольку рыночная цена равна 210, то эффект от арбитражера будет отрицательным (-16,44÷210= – 7,83%). Применять такую оптимизацию портфеля нельзя, чтобы не понести убытка. Арбитражера при данной сделке не возникает.

Давайте оценим, является ли выгодным продажа третьего портфеля:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Арбитражер третьего варианта оптимизации портфеля равен:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Оптимальность портфеля определяется по формуле (262): Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

То есть, если оптимизация портфеля произойдет за счет продажи портфеля №3, то ОАО «Кобальт» заработает 4,385964 тыс. У.е. Эффект от такого дохода будет равен 2,58%, заработанных в кратчайшие сроки. Поскольку такой эффект и в денежном и в % выражении выше, чем эффект от оптимизации №1, то пока его следует оставить приоритетным.

Сравнивать его осталось только с одним вариантом: оптимизация портфеля за счет продажи портфеля №4.

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Арбитражер третьего варианта оптимизации портфеля равен:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Ясно, что эффект от такой оптимизации портфеля будет отрицательным: ААА (–17,85/50=–35,71%).

Итак, мы должны остановиться на варианте №3. Давайте теперь посмотрим на то, как читать данные по арбитражеру и что они значат. В варианте №3 мы продаем портфель №3. Взамен приобретаем 51,22% дополнительной доли портфеля №1, 26,66% дополнительной доли портфеля №2 и 24,56% дополнительной доли портфеля №4. Если арбитражер получается выше +/-1, например, у нас портфель №1 получился бы –2,19, то это означало бы, что компании следует взять на время дополнительно 119% ценных бумаг портфеля №1, чтобы затем продать. Теория арбитражера оперирует преимущественно крупными операциями на рынке ценных бумаг. Крупная операция существенно может повлиять на спрос/предложение на рынке акций/ценных бумаг. Потому арбитражер также рассчитывает на сдвиг, который должна помочь спровоцировать компания, чтобы увеличить вероятность дохода по арбитражеру и максимизировать сумму дохода, минимизировав риски портфеля! Следует также отметить, что в случае мелких операций, мелким компаниям также, согласно теории АРТ, следует делать то же самое, что и крупным. Это ускоряет обращение на рынке ценных бумаг, помогая выравнивать цену арбитражера, чтобы компания в конечном итоге получила больший доход по оптимальному портфелю.

Под портфелем может пониматься и отдельная акция, и целый портфель акций, и портфель иных ценных бумаг (например, арбитражер хорошо просчитывает погодные деривативы /о том, что это такое мы с Вами поговорим в разделе МСФО данной книги/. Теория АРТ («Апт») не зря созвучна в английском в своем названии с «особым умением». Оптимизация портфеля по АРТ – это особое умение использовать оптимизацию портфеля в коротком периоде и зарабатывать на арбитражере, поскольку теория предполагает, что в длинном периоде оптимизация портфеля с полезной денежной или рисковой выгодой невозможна! Это вызвано тем, что рынок ценных бумаг быстро уравнивает цены, снимая возможности для арбитражера.

Также следует уделить внимание тому, каким образом при развитии событий определяется динамика движения цены акции. Существует метод построения ковариативной матрицы. Мы уже ее строили, когда создавали портфели ценных бумаг. То есть, например, в случае с ОАО «Кобальт», данной фирме следовало бы выявить, как развивались негативные, нормальные и позитивные сценарии в прошлом. Проанализировать, как менялись цены на аналогичные акции. И на основании этого – построить ковариативную матрицу изменения цены ценной бумаги/портфеля А в зависимости от динамики критического показателя (в данном случае – динамики азиатских индексов и общего уровня экономического развития).

Однако арбитражер – это существенно более сложная тема. Построение системы линейных уравнений – только «поверхность айсберга» расчета арбитражерных операций. Для углубления материала, давайте представим, что компания ОАО «Кобальт» идет по сценарию №3, то есть, продает портфель №3, и за вырученные деньги приобретает дополнительно 51,2% портфеля №1, 26,6% портфеля №2, 24,56% портфеля №4. Тогда структура портфеля будет выглядеть следующим образом:

Таблица: Прогнозирование стоимости портфеля компании по модели АРТ

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Сумма портфеля по текущей стоимости равна 615,614, что на 4,385964 меньше, чем было у изначального портфеля. Указанная сумма и будет арбитражером компании ОАО «Кобальт». Пусть сценарии развития равновероятны. Тогда для абстракции примем, что средняя доходность акции при произвольном сценарии развития равна следующим значениям.

Таблица: Средняя цена портфеля компании ОАО «Кобальт» по модели АРТ

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] Показатель/портфель №1 №2 №4 Текущая цена портфеля, тыс. У.е. 287,3334 265,9999 62,28071 Средняя доходность, тыс. У.е. 289,8539 268,111 61,0351

Далее, при применении алгоритма модели САРМ, была проанализирована зависимость между портфелями и курсом обмена валют (КОВ) и индексом потребительских цен (ИПЦ) на доходность каждого портфеля. Наверное, в этом заключается одна из особенностей модели арбитражера. Она использует алгоритм САРМ, только не для расчета зависимости колебаний курса акции от среднерыночного курса, но уже для расчета зависимости между колебанием среднерыночного курса акции/ценной бумаги/портфеля и важным макроэкономическим индикатором. В результате получаются те же коэффициенты β, но уже применительно к макроэкономическим индикаторам.

Было установлено, что зависимости между доходностью каждого портфеля, ИПК и КОВ принимают следующие коэффициенты β:

Таблица: Зависимость между индикационным β и курсом портфеля по модели АРТ

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Итак, нам известна средняя доходность портфеля. По модели АРТ, ожидаемая доходность (Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] ) находится по формуле (261):

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Если были установлены новые зависимости портфеля от макроэкономических индикаторов, то давайте вместе с Вами проанализируем, имеется ли возможность для арбитражера. Мультипликатор а0 соответствует безрисковой ставке доходности по модели САРМ (по которой и были вычислены зависимости от макроэкономических индикаторов). Поскольку применялась модель САРМ, то данный мультипликатор появится в системе уравнений, которая примет вид:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (266)

Показатель ЦБ показывает то, какой ценной бумаге портфеля соответствует каждое уравнение. Давайте теперь составим и решим систему уравнений для ОАО «Кобальт».

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Высокая чувствительность портфеля к колебаниям КОВ накладывает существенный риск на портфель. Наоборот, низкая чувствительность ко второму рисковому фактору уравновешивает такой портфель.

Автор привел для наглядности несколько примеров разных сочетаний а0, а1, а2. Приведенное выше уравнение представляет собой уравнение тождественности ценной бумаги на рынке. Оно показывает, как распределяются риски акции при заданных обстоятельствах. Так, во втором случае риск рынка = 0 (такое, на самом деле, крайне маловероятно). То есть, при второй методике расчета мы умышленно опускаем рыночный риск, чтобы включить его в расчет потом, после расчета вероятности арбитражера.

Как рассчитать а0 в уравнении арбитражера по АРТ? За доходность безрисковых вложений сам основатель модели, Стивен Росс, брал доходность государственных облигаций США. Наш портфель стоит 619 тыс. У.е. по показателю ожидаемого будущего дохода с 615,61 у.е.. Пусть, например, известно, что доходность безрисковых вложений равна 616 У.е. Напомню, что все расчеты в указанном примере ведутся из расчета на месяц – годовая ставка будет отличаться от месячной (что, собственно, не удивительно). Тогда безрисковая ставка % составит 0,06% в месяц, что примерно соответствует взятой нами ао.

Давайте теперь вместе с Вами проанализируем то, как читать приведенное выше уравнение арбитражера. Перед его составлением, мы рассчитали, что арбитражер при заданных условиях невозможен – поскольку мы его уже провели, продав портфель №3. Однако данное уравнение описывает возможность арбитражера оставшихся портфелей ценных бумаг, в случае появления на рынке новой ценной бумаги. Например, пусть появится альтернатива портфелю – ценная бумага компании №6: βКОВ = 0,75; βИПЦ = 0,65. Текущая ее цена равна 28 У.е. за акцию (количество: 10000 акций). Ожидаемая доходность от нее составит 290 тыс. У.е..

Чувствительность к изменению КОВ старого портфеля составит:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (267)

Для нашего портфеля: 1/3*1,2+1/3*1,3+1/3*0,8=1,1. 1/3 – это с условием того, что наш портфель состоит на 1/3 из портфеля каждой акции.

Выражение (267) показывает чувствительность (Ч) портфеля к какому-либо фактору U, зависимость к которому установлена методом САРМ. В нашем случае U – это изменение КОВ.

Чувствительность к ИПЦ старого портфеля по формуле (267) составит 0,566.

Таким образом, появляется новая возможность арбитража. А именно, срочной смены портфеля №1, №2, №4 на ценные бумаги №6, которые имеют существенно превосходящую доходность, и более низкую чувствительность к факторы изменений КОВ, и несколько более высокую чувствительность к фактору изменения ИПЦ. Однако арбитраж должен быть произведен в кратчайшие сроки, поскольку рынок будет быстро выравнивать условия ценных бумаг компании №6 под рыночные условия доходности, влияния риска и прочих значимых факторов.

Итак, мы с Вами рассмотрели системы САРМ и АРТ. Система АРТ представляет собой мультивариантное проектирование оптимального портфеля методом арбитражерных сделок, не предполагая наличия безрисковой ставки на рынке (смотрите решения уравнения (266)!). АРТ также не предполагает расчет статистических компонентов в прогнозировании стоимости ценных бумаг: наиболее вероятностную доходность и средние отклонения от нее. Указанные параметры можно задать в модели АРТ, но они не являются системообразующими. Модель АРТ хорошо моделирует ценообразование вновь появившейся на рынке акции. САРМ объясняет равновесную систему цен на рынке и поведение ценной бумаги в зависимости от ее изменения. Таким образом, и теория АРТ, и теория САРМ хорошо дополняют друг друга.

Наряду с указанными методами существует и регрессионный матричный анализ при расчете оптимальной структуры портфеля ценных бумаг. Данный анализ был разработан Гарри Марковицем. Пусть существует на рынке набор из n ценных бумаг. Лучше, чтобы n было больше 2. О том, как рассчитывать портфель всего с 2 ценными бумагами – было рассказано ранее. В данной части мы с Вами формируем большой портфель. Для анализа нам понадобятся исторические наблюдения за ценой акции, желательно, с ежепериодным срезом и равными или примерно равными по промежутку времени срезами. Желательно, чтобы число наблюдений за рыночными колебаниями на цены всех акций было больше 25, еще лучше – 100. Тогда погрешность в исторической симуляции будет минимальной. Формула расчета для портфеля с минимальным риском (ПМИР) будет следующей (268):

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Нижняя строка получившейся обратной матрицы, за исключением последней строки, даст коэффициенты, равные оптимальным долям акций a,b,c,d,e,…,n, которые составят портфель с минимальным риском. Держатель такого портфеля с наибольшей вероятностью получит ожидаемый доход.

«2» перед каждым знаком строки и столбца матрицы характеризует константу Лагранджа = 2. Cov – это коэффициент ковариации, который показывает зависимость между двумя парами акций за период наблюдений n. Ковариацию для данной матрицы следует рассчитывать в соответствии с формулой (253):

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Показатель над матрицей «–1» означает не – 1 степень, а то, что матрица берется не прямая, а обратная! После того, как будут посчитаны коэффициенты ковариации, матрицу необходимо будет сделать обратной, чтобы получить показатели оптимального с точки зрения риска портфеля. Формула для вычисления обратной матрицы (А-1) следующая:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (269)

Где: Det(A) – это определитель («детерминант») исходной матрицы. Мы уже рассчитывали определитель матрицы третьего порядка в начале данной главы. А1,1; А2,2; ….; Аn,n – это матрицы, производные первой. Декомпозиция равна:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (270)

Где: i, j – это числа порядка столбца и строки матрицы (например, для А1,2 i=1; j=2). - это определитель матрицы, производной от изначальной матрицы, так, что в каждой матрице вычеркивается каждая i и каждая j строка (так, для А1,2 была бы вычеркнута 1 строка и 2 столбец).

Следует заметить, что метод не предполагает расчет матриц из 2 и 1 ценных бумаги, иначе формула расчета определителя была бы другой. Формула (269) справедлива для вычисления определителя квадратичной матрицы порядка больше 2 и меньше или равно 4. Иначе актуальность расчета теряет всякий смысл!

Для вычисления сверхбольших матриц, автор рекомендует почитать литературу, касающуюся метода Гаусса-Жордана.

Автор не рекомендует Вам, Уважаемый читатель, тратить время на расчет сверхбольших матриц (свыше 5 – 7 порядка и меньше указанного порядка) вручную. Для расчета обратной матрицы Вам понадобится компьютер с любой математической программой. Для начала попробуйте самую распространенную – Excel. Введите и рассчитайте ковариативную матрицу (268) в таблице в программе Excel. Не забудьте заполнить 0 и 1 по краям матрицы, как показано в формуле (268)! Постройте рядом пустую таблицу, по размеру полностью сопоставимую с получившейся ковариативной матрицей, но ни в коем случае ее не заполняйте! Выделите пустую таблицу мышкой, чтобы вся таблица стала синей (то есть, выделенной). В верхней правой строчке выделенной таблицы, не снимая выделения, введите следующую формулу. Для русскоязычного Excel это будет «=МОБР()», где в скобочках () выделите изначальную матрицу, из которой необходимо рассчитать обратную, или введите адрес ячейки верхнего левого столбца и через двоеточие (:) адрес ячейки нижнего правого столбца. Нажмите комбинацию клавиш: Ctrl+Shift+Enter – и на экране появится заполненная ЭВМ обратная матрица, которая затем может быть использована Вами для анализа! А также можете использовать любую иную программу на Ваше, Уважаемый читатель, усмотрение.

Давайте сейчас вместе с Вами рассмотрим пример расчета портфеля с минимальным риском. Пусть в результате наблюдения за рынком ценных бумаг были установлены следующие тренды его развития:

Таблица: Мониторинг рынка акций компаний А – Е с нач. 2010 по нач. 2011гг., У.е.

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Итак, давайте вместе с Вами, Уважаемый читатель, составим портфель с минимальным риском. Для расчета минимального риска нам с Вами понадобится выписка всех коэффициентов ковариации. Расчет ковариации для указанного рынка по формуле (253) приведен в нижеследующей таблице:

Ковариационная матричная система компаний А – Е с нач. 2010 по нач. 2011гг.

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Подчеркнутым курсивом отображаются зеркальные коэффициенты (например, Cov(a,b) и Cov(b,a), которые равны между собой). В данной матрице ковариация уже умножена на 2. В ячейке У стоят 1, которые сходятся в 0, чтобы в итоге смогли получиться доли акций, где бы 1 означала бы 100% и так далее. Однако теперь необходимо указанную матрицу А рассчитать как А–1, то есть, вычислить матрицу, обратную данной. Мы с Вами воспользуемся расчетом при помощи ЭВМ (Вы можете рассчитать это, например, в программе Excel, воспользовавшись приведенным автором алгоритмом):

Ковариационная матричная система портфеля с минимальным риском

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Строка и столбец %%% показывают оптимальные доли каждой акции таким образом, что они формируют портфель с минимальным риском. Итак, мы видим, что оптимальный портфель состоит из 9,96% акций А, 45,21% акций Б, 6,74% акции В, 47,14% акции Г, 10,96% акции Д, – 20,01% акции Е. Итак, от акций Е, несмотря на их постоянный рост, нужно избавиться. Проверим правильность расчетов: сумма строк %%% (за исключением строки, где %%% пересекаются, то есть, за исключением крайней нижней правой строки, где напротив %%% не стоит никакой акции) должна получиться равна +1. Проверим: 9,96%+45,21%+6,74%+47,14%+10,96%-20,01%=1 – верно, значит портфель определен правильно. Теперь, давайте разберемся, что значит -20% акции Е. Это означает, что в портфель ни в коем случае не следует включать акцию Е. А из остального портфеля следует исключить 20,01% иных акций, к которым он питает наименьшее предпочтение! Такой портфель с высокой вероятностью будет иметь минимальный риск.

Доходность такого портфеля определяется по формуле:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (271)

Дох – это доходность портфеля, состоящего из ценных бумаг А, Б, В, …., n. λ – это доля каждой акции в портфеле, например, λА – это доля акции А в портфеле, λi – доля i-й акции в портфеле. Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] – это доходность некоей Х-й ценной бумаги, входящей в портфель.

Допустим, мы хотим диверсифицировать риск, и оставляем все ценные бумаги в портфеле, а указанные 20,01% вычитаем равными долями из портфеля акций Б и Г, доля которых была максимальной. Тогда средняя вероятная доходность портфеля с минимальным риском равна:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Средняя ожидаемая доходность ценной бумаги равна среднему арифметическому ее цены за анализируемый период. Средняя арифметическая цена акции все время колеблется. Чем сильнее колебания, тем выше риск. Величину риска одной акции определяет среднеквадратическое отклонение. А риск портфеля определяется по формуле:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (272)

Среднеквадратическое отклонение считается по формуле (245):

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Тогда риск портфеля в анализируемом примере будет равен: Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Данный риск в 3,33 У.е., или в 1,55% и является, наиболее вероятно, что минимальным риском из портфеля акций А – Е.

При выборе портфеля с минимальным риском, очень высока вероятность получить такой же доход, на какую величину поднялся портфель из указанного набора ценных бумаг за исследуемый период. Очень важно выбирать сверхбольшие периоды наблюдений с маленькими ежепериодными срезами.

Однако не все инвесторы предпочитают минимизировать свои риски на рынке акций. Некоторые предпочитают иметь заданную ими доходность вместе с высоким риском – все зависит от психологических особенностей инвестора.

Давайте представим, что инвестор просто принял к сведению информацию о портфеле с минимальным риском. Инвестор хочет знать, чему равна доходность портфеля с минимальным риском. Итак, как рассчитывается доходность? Доходность портфеля (Дох(%)) с минимальным риском равна (273):

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

ДН – это доходность каждого типа ценной бумаги на начало периода. Для акций А – Е доходность портфеля с минимальным риском составит 1,37%.

Предположим, инвестор не хочет иметь доходность в 1,37%, а хочет обладать портфелем, который с заданной вероятностью принесет доходность в 5%. Следует заметить, что вместо 5% может быть любая доходность, но для примера мы с Вами рассмотрим именно такую доходность.

Для целей оценки портфеля с заданной доходностью используют уже не простую линейную оценку доходности, как мы делали до этого, а используют особый вид качественной оценки доходности каждой ценной бумаги – среднюю геометрическую доходность (СГД). Показатель СГД идентифицирует, какова была доходность заданной ценной бумаги в исторической ретроспективе за анализируемый период. Общая формула расчета средней геометрической доходности имеет вид:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (274)

Где: П – это знак произведения всех входящих в множество компонентов. А – это цена i-го финансового инструмента (ценной бумаги) в период после того, когда ценная бумага стоила сумму Б. n – это число срезов цены, общее число наблюдений за колебаниями цен (но не общее количество срезов доходностей Т=n-1).

Давайте разберем простой пример определения среднегеометрической доходности. Пусть ценная бумага Х в период 1 стоила 100 руб., в период 2 – 101 рубль, в период 3 – 104,5 руб. Тогда средняя геометрическая доходность такой ценной бумаги будет равна:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

То есть, в нашем примере Т=n-1=3-1=2.

Портфель с заданной доходностью (ПЗД) будет рассчитываться из произведения матриц (275):

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

ПЗДа, ПЗДb, …, ПЗДn – показатель портфеля с заданной доходностью для ценных бумаг a,b,c,d,e,…., n, входящих в портфель. Цифры 1 и 0 в скобочках () обозначают, что крайний правый столбец и нижняя строка, показывающие структуру портфеля с оптимальным риском, рассчитываться при последующем произведении матриц не должны. Однако эти 1 и 0 нужны, для того, чтобы получить адекватную обратную матрицу, чтобы ее затем умножить на матрицу-столбец. СГДa, СГДb, …, СГДn – это показатели среднегеометрического дохода (СГД) акций а, b, …, n, из которых строится оптимальный портфель. Левую часть произведения мы с Вами уже вычислили, когда определяли структуру портфеля с минимальным риском. Теперь, давайте займемся произведением матриц в соответствии с формулой (275): Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Полученная матрица-столбец: {-0,11211,….,-0,043688}, – показывает ковариативной рисковое распределение портфеля ценных бумаг, показатель ПЗД. ПЗД поможет при определении структуры портфеля с заданными параметрами, потому что не каждый инвестор предпочтет иметь портфель с минимальным риском!

Основное правило произведения матриц – это то, что строка всегда умножается на столбец. Более подробно с теориями произведения матриц, равно как и самими теориями матричного исчисления, Вы можете ознакомиться, например, в трудах Н.Ш. Кремера, А.С. Солодовникова, В.З. Партона, М.Н. Фридмана, А.В. Тананы и других.

Матрицы можно умножать и в ЭВМ. В данном случае, рассмотрим расчет в самой распространенной программе – MS Excel. Построить первые две матрицы, произведение которых мы и пытаемся найти через показатель ПЗД, Вам, Уважаемый читатель, не составит большого труда. Первая, ковариативная матрица будет уже готова. Из нее не следует брать в расчет нижнюю строку и крайний правый столбец, поскольку они не относятся к портфелю ценных бумаг напрямую и были введены в качестве вспомогательных переменных. Вторая матрица – это результаты расчета среднегеометрической доходности (СГД). Постройте матрицу, сопоставимую с объемом первоначальной выборки, но на одну строку меньше: соблюдается условие (n-1). Встаньте курсором в первую ячейку и введите: цену 02 периода наблюдения по ценной бумаги №1 поделить на цену 01 периода той же ценной бумаги; нажмите Enter. Растяните маркером данные в полученной таблице. Под таблицей введите команду: «=ПРОИЗВЕД(столбец)^(1/(n-1) – 1». Где вместо слова «столбец» необходимо выделить столбец получившейся матрицы, а вместо n-1 нужно ввести количество строк получившейся новой матрицы, которая. Как вы помните, короче на 01 строку, чем количество наблюдений! Как Вы помните из курса математики, корень n-й степени от числа А – это то же самое что число А возвести в степень (1/n). Возведение в степень в большинстве математических программ, включая Excel, производится знаком «^». И в заключение расчета среднегеометрического дохода умножьте в новой строке получившееся значение средней геометрической доходности на цену акции/ценной бумаги в самый первый период. Обычно, средняя геометрическая доходность определяется в среднем за 01 год или 01 месяц наблюдений. Если, например, Вы анализируете период в 12 лет (так называемая «Декада»), то Вам придется рассчитать среднюю геометрическую доходность 12 раз! Затем можете определить среднюю доходность методом любой адекватной на Ваш взгляд математической операции, например, при самом простом расчете, просто вычислив среднюю арифметическую.

Итак, Вы построили и рассчитали две матрицы – как их умножить. Раз квадратичная матрица умножается на матрицу-столбец аналогичной размерности, то получиться должна матрица-столбец такой же размерности. Выделите на пустом месте рабочего листа программы область, сопоставимую с матрицей-столбцом СГД. Введите команду «=МУМНОЖ(матр. 1; матр. 2)», где матр. 1 – это ввод первой матрицы (адрес верхней левой строки, двоеточие (:), адрес нижней правой строки), матр. 2 – матрица №2, на которое выполняется произведение, вводится аналогично матрице №1. Затем нужно нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. На экране Вы увидите результат. Если Вы случайно наведете мышкой на получившуюся матрицу, то необходимо будет еще раз нажать указанную комбинацию клавиш, иначе программа не даст Вам работать дальше, подумав, что Вы внесли в массив коррективы!

Итак, массив данных рассчитан вручную или с применением ЭВМ. Данный массив позволит нам дальше без труда найти ответы к уравнению, которое позволит нам с Вами вычислить константы оптимального портфеля.

Указанное уравнение имеет вид:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (276)

Где: АБР, ББР, …., NБР – это доля ценных бумаг А, Б, …, N, которая входит в портфель с минимальным риском так, как это было рассчитано в ковариативной матрице (268). ПЗДа, ПЗДb, ПЗДс, …, ПЗДn – это полученные в результате умножения матриц по формуле (275) элементы ПЗД для ценных бумаг a,b,c,…,n. Следует заметить, что a – это общее условное обозначение для производных показателей ценной бумаги А портфеля, b – ценной бумаги Б, …., n – ценной бумаги N портфеля. Данные показатели введены в расчеты для упрощения восприятия. D(A), D(Б), D(B),….,D(N) – это показатели оптимальной доли ценных бумаг А, Б, В, …., N, входящих в портфель инвестора, в соответствии с задаваемыми им параметрами.

В данной формуле появился показатель У0, общий для всей системы уравнений. Данный показатель преобразует функцию полезности, заданную инвестором, в константу, являясь общим итогом вычисления функции У0. К вычислению указанного показателя мы с Вами вернемся попозже.

Среднегеометрическая доходность портфеля с минимальным риском составит 2,37494%. Указанная величина вычисляется из формулы: Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

(277)

Где: Аi – это доля i-й ценной бумаги в портфеле с минимальным риском; Рi – это фактическая рыночная цена i-й ценной бумаги на конец (К) периода наблюдения и на начало (Н) периода наблюдения. СГДi – это среднегеометрическая доходность i-й ценной бумаги, входящей в портфель.

Из всего оптимального портфеля нам остались неизвестными только показатель У0, который рассчитывается по формуле:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (278)

Где: Дохжелаемая – это желаемый инвестором уровень дохода от портфеля. Дохмин. риск – это уровень доходности, который присутствовал при портфеле с минимальным риском. Наиболее приемлемым в расчете является среднегеометрический уровень доходности желаемый, и портфеля с минимальным риском. Показатели ПЗД и СГД i-го актива определяются из формул (275) и (274). В нашем примере показатель У0 равен:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Теперь рассчитаем оптимальный портфель с доходностью в 5% из системы уравнений (276):

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Сумма указанных элементов равна 1 или 100%. Прибавим к самой большой по удельному весу ценной бумаге Б суммы ценных бумаг А, Г, Д, Е. Получится, что один из вариантов портфеля, который бы устроил инвестора в 5% доходности будет состоять из 74,6% акций Б, 25,4% акций В. Возможны также варианты портфеля, состоящего из большего количества акций Б, однако это может противоречить политике диверсификации портфеля.

Часто уравнение (276) будет давать точную, с точностью до процента, структуру портфеля без отрицательных чисел, однако всегда итог выражения и портфель зависят от конкретных обстоятельств, которые складываются на рынке ценных бумаг.

По мнению автора, выражение (276) следует упростить для упрощения принятия стратегических решений. Столь высокие значения показателя портфеля вызваны тем, что среднегеометрическая цена рассчитывается из фактических цен, имеющихся на рынке, которые в данном случае представлены в сотнях рублей, что, как следствие, мультиплицирует итог выражения (276). Хотя такая мультипликация не влияет на конечный математический результат, однако она влияет существенно на управленческий результат, поскольку дает слишком большой разброс значений, которые сходятся в точке 01 (100% портфеля). Принимать управленческие решения по такому портфелю может быть не так удобно. Потому автор разработал метод упрощения представляемого результата в формуле Гарри Марковица для создания оптимального портфеля. Метод заключается в следующем.

Автор предлагает рассчитывать не общий среднегеометрический доход, равный изменениям фактических величин цен на акции, а условный геометрический доход (УГД). Для расчета показателя сначала следует рассчитать общий геометрический доход на акцию по следующей формуле:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (279)

Затем имеющиеся за период наблюдения фактические колебания цены на ценные бумаги необходимо привести в условные цены следующим образом:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (280)

Где: П – это знак произведения всех входящих в множество компонентов. А – это цена i-го финансового инструмента (ценной бумаги) в период после того, когда ценная бумага стоила сумму Б. n – это число срезов цены, общее число наблюдений за колебаниями цен. ∑Pi – это сумма цен i-й ценной бумаги на рынке за весь период наблюдения. ∑PА – это сумма цен всех ценных бумаг на рынке, из которых предполагается построение оптимального портфеля, за весь период наблюдений.

Авторская методика расчета оптимального портфеля с учетом рыночного риска

При данных условиях автор полагает целерациональным рассчитывать условную среднюю геометрическую доходность (УСГД) по разработанной им методике на основании нижеследующей формулы:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (281)

Что дает расчет по данной формуле? Расчет по данной формуле автоматически рассчитает саму структуру наиболее оптимального портфеля ценных бумаг из возможного с заданной нормой доходности или риска. Для нашего примера такой перерасчет показателя среднегеометрической доходности даст следующий наиболее оптимальный портфель для инвестора:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Такая матрица ПЗД, по мнению автора, более отвечает требованиям инвестора и условиям рынка при сложившейся конъюнктуре. Показатель У0 в данном случае также сменит свой вид на:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] Данный У0, по мнению автора, более отвечает сложившейся на рынке конъюнктуре. Тогда оптимальный портфель из акций А – Е имеет вид:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Как видно, метод, разработанный автором, уточняет метод Гарри Марковица и способен строить оптимальный портфель из n ценных бумаг, обращающихся на рынке, с заданными критериями риска и доходности. В данной формуле не нужно перерассчитывать сверхбольшие параметры и числа для построения оптимального портфеля. Итак, наиболее вероятный вид оптимального портфеля с доходностью 5% должен иметь в своей структуре 21,18% ценных бумаг А, 28,64% ценных бумаг Б, 0% ценных бумаг В, 44,39% ценных бумаг Г, 5,02% ценных бумаг Д, 0,77% ценных бумаг Е.

Автор для наглядности подобрал такой пример, чтобы матрица Г. Марковица «зашкалила». На рынке такое бывает часто. Метод автора позволяет строить удобные портфели ценных бумаг из n разновидностей ценных бумаг вне зависимости от фактических условий и специфики рынка.

Авторская методика в доработки матрицы по Г. Марковицу некоторой степени учитывает линейный и нелинейный рыночный риск по У. Шарпу, который в обычных условиях теорией Г. Марковица разрешен быть не может.

Однако не всегда инвестор предпочитает строить портфель из ценных бумаг с заданной доходностью. Иногда его могут интересовать и портфель с оптимальным, но не минимальным риском.

Существует и методика Гарри Марковица составления такого портфеля, и методика VaR.

По методике Гарри Марковица, если, например, субъект желает иметь риск выше минимального (следовательно, доходность такого портфеля растет), то оптимальный портфель с точки зрения риска инвестор может сформировать, создав новую систему уравнений при помощи показателя У0(р):

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (282)

Знаменатель формулы полностью аналогичен знаменателю формулы (278), в которой рассчитывался показатель У0. В числителе показатель σЖЕЛАЕМАЯ соответствует желаемой инвестором степени риска, а σМИНИМАЛЬНАЯ соответствует риску портфеля с минимальным риском, который составляется просто из разворота оптимизированной ковариационной матрицы (268).

Получившийся показатель У0(р) следует подставить в систему уравнений (276) вместо показателя У0. Это можно сделать по методу Г. Марковица, либо по авторскому методу с примерным учетом рыночного риска. Получившийся результат расчета системы уравнений покажет портфель с заданным инвестором уровнем риска. Поскольку расчет является практически однотипным с расчетом портфеля с заданным показателем доходности, то пример по нему мы рассчитывать не будем.

Следует сказать и несколько слов по анализу VaR – Value at Risk – «стоимость под риском». VaR – это обширная серия методик, которая применяется во многих отраслях экономики в современном мире. Для рынка ценных бумаг мы с Вами рассмотрим только один простейший тип Var – это анализ портфеля в условиях падающего рынка с вероятностью точности анализа 99%.

Система уравнений VaR достаточно сложна, потому автор опишет применение системы по упрощенному варианту через алгоритм Питера Харта. В частности, данный алгоритм заложен в простейшей математической программе Excel.

Для построения алгоритма VaR в условиях падающего рынка понадобится немного расчета. Во-первых, Вам предстоит рассчитать среднегеометрическую доходность каждой ценной бумаги, входящей в предполагаемый портфель по формуле (279), то есть, как отношение доходностей каждой ценной бумаги в каждом новом периоде в корне степени количество наблюдений – 1 (степень 1/(n-1). Во-вторых, понадобится среднеквадратическое отклонение для каждой ценной бумаги, рассчитанное по формуле (248) или (245), в зависимости от того, к какой математической школе Вы относитесь.

Сумму среднегеометрического дохода разместите в таблице-строке в редакторе Excel, а рядом разместите пустую сопоставимую колонку, куда ЭВМ рассчитает оптимальные доли портфеля; выделите ее зеленым цветом. Целевой ячейкой должна стать Доходность портфеля (ДП), которая равна сумме произведений среднегеометрических доходностей каждой акции за период (УГДi) и доли каждой ценной бумаги в портфеле (Di):

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (283)

Аналогично, над величинами среднеквадратических отклонений каждой акции в портфеле оставьте пустую строчку, куда введите формулу доли акции в портфеле (пустая ячейка), умноженная на среднеквадратическое отклонение портфеля из 100% указанной акции. Введите одну ячейку, куда занесите сумму среднеквадратических отклонений стоимости акций в портфеле, которые Вы только что написали.

Если Вы все сделали правильно, то у Вас окажутся рассчитанными среднегеометрический доход и среднеквадратическое отклонение каждой отдельной акции, входящей в портфель. В остальных ячейках у Вас просто должны быть введены формулы, но значение должно равняться нолю, потому что долей акций в оптимальном портфеле мы еще не знаем.

Задайте адекватную доходность для заданного портфеля (например, 0,02, то есть, 2% за период). Подключите в надстройках параметр Поиск решения в Excel. В поиске решения задайте оговоренную нами ранее целевую ячейку (доходность портфеля), поставьте равной «по значению» и введите значение желаемой Вами адекватной доходности от портфеля. В графу изменяя ячейки обозначьте пустые ячейки, в которых должны появиться доли оптимального портфеля из акций. В графу ограничения добавьте: сумма строк долей акций /может быть задана через двоеточие адрес первой ячейки и последней, а может быть выделена в отдельную строку на листе Excel, куда занесена формула: сумма/ должна быть меньше или равно /<=/ 1, затем добавьте к сумме данных строк, что они должны быть больше либо равно />=/ 0. Введите ограничения на ячейку в Excel, куда формулой прописана сумма долей акций в портфеле ценных бумаг /должна быть равна 1/. На графу риска, или среднеквадратического отклонения наложите ограничение «равно 0» / лучше задавать диапазон значений, близких к 0 в зависимости от целей инвестора, чтобы программе было что считать!/. Введите выполнить и ЭВМ методом алгоритма Питера Харта найдет оптимальный портфель с минимальным риском. Данный портфель будет соответствовать Var 99,9%, потому что именно с такой точностью расчета при анализе VaR запрограммирован алгоритм Питера Харта!

Так, например, в нашем примере VaR с параметрами риска от 0% до 5% и максимальной доходностью при заданном риске соответствует портфель из 85,67% акций Б и 14,327% акций Е.

Следует сделать последнее замечание относительно того, как подключить алгоритм Питера Харта «поиск решения» для Excel 2007 и 2010. Для этого щелкните на кнопку общих настроек (кнопка с логотипом МС офис, где сохраняют, открывают, …. файлы). Внизу справа открытого списка найдите «параметры Excel», щелкните на эту кнопку. Перейдите на параметр «надстройки» и в неактивных надстройках выберите «поиск решения». Затем внизу на вкладке «управление» выберите «надстройки Excel» и нажмите клавишу «перейти». В диалоговом окне «надстройки» поставьте галочку напротив «поиск решения». Кнопка и функция «поиск решения» теперь будут доступны в новом Excel во вкладке «Данные», обычно, справа. О том, как задействовать алгоритм на более ранних версиях программы, мы с Вами, Уважаемый читатель, уже говорили.

Данный VaR будет соответствовать оптимальному портфелю на кризисном рынке. Портфель, рассчитанный по авторской модификации методики Гарри Марковица, будет соответствовать оптимальному портфелю на рисковом рынке. Портфель, рассчитанный по алгоритму Гарри Марковица, будет рассчитывать портфель в условиях развивающегося или поднимающегося рынка акций без учета рыночного риска по Уильяму Шарпу (анализ САРМ потому желателен). Арбитражерный портфель работает на всех типах рынка на доход от арбитражерных операций, полагая, что арбитражер – единственный возможный в экономике на рынке ценных бумаг доход от ценных бумаг, поскольку рынок быстро уравновешивает ценные бумаги, вращающиеся на нем.

Указанный обзор применения методик для анализа оптимального портфеля на рынке ценных бумаг – это лишь «капля в океане» от общего количества методик прогнозирования стоимости ценных бумаг. Ввиду ограниченности объемов настоящей книги мы с Вами рассматривать прочие методики в рамках данной книги не будем.

Трендовый метод не ограничивается прогнозированием развития отдельной компании на рынке или прогнозирования стоимости ценных бумаг, выпущенных исследуемой фирмой или иными бизнес-системами на рынке. Трендовый метод подразумевает также исследование факторов неравномерности стоимости денег с течением времени.

Анализ неравномерности стоимости денег с течением времени можно проводить двумя методами: NPV и NFV. Обе указанные методики относятся к комплексному финансовому анализу косвенно, потому затрагивать их рассмотрение мы с Вами не будем.

Таким образом, мы с Вами рассмотрели важную часть финансового анализа деятельности компании. По мнению автора, в современном мире невозможно комплексно проанализировать деятельность фирмы в отрыве от рыночных колебаний стоимости ее акций, а также в отрыве от анализа портфеля ценных бумаг компании. Еще Вильям Генри Бивер полагал, что колебания рыночной стоимости ценных бумаг компании способны вывести бизнес-систему с рынка навсегда! Эдвард Альтман подхватил идею В.Г. Бивера и создал свой знаменитый коэффициент D в модели Альтмана, который опирался на рыночную стоимость акций.

В современном мире анализ портфеля ценных бумаг должен проводиться наряду с экспресс–анализом и более комплексно. И Вам пригодятся методики, рассмотренные в данной части главы.

Вернемся к тому, с чего мы начинали рассматривать трендовый метод, – с анализа общего тренда развития компании: позитивный он или негативный, и по каким параметрам. Тогда мы с Вами затронули важную составляющую трендового метода: вероятности доходности в будущем месяце. В математике подобный расчет называется математическим ожиданием:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)] (284)

Где: Pi – это i-е значение показателя; λi – это вероятность наступления данного показателя. ∑λi = 1 – это обязательное условие математического ожидания.

Рассмотрим столь «страшный» термин, как математическое ожидание на простом примере. Пусть корпорация ООО «Сталкер» имеет возможность заработать 100у.е. в следующие сутки с вероятностью 10%, 120у.е. с вероятностью 20%, 130у.е. с вероятностью 30%, 85у.е с вероятностью 40%. Математического ожидание дохода в следующие сутки будет равно:

Формула, автор: [Александр Шеметев (Alexander A. Shemetev)]

Математическое ожидание представляет собой среднее значение показателя, которое распространяется на всю генеральную совокупность для многих испытаний или наблюдений. Трендовый метод базируется на функциях распределения, рассмотрение которых выходит за рамки настоящего исследования.

Каждый предприниматель сам оценивает субъективно риски по каждому сценарию развития событий. То есть, трендовый метод – это разновидность сценарного финансового анализа, разновидность wait-if анализа, который мы с Вами, Уважаемый читатель, уже рассмотрели.

Форм у сценарного анализа несколько: классическая, wait-if, стресс-тестирование, портфельное планирование, рисковое фокусирование и нейронное прогнозирование. Как видно из широкого ранжирования разновидностей сценарного анализа, людей всегда интересовало: «Что будет с их капиталом если….?!». Данный вопрос оказался настолько важен, что данное выражение буквально легло в основу целого направления сценарного анализа, Wait-if анализа (досл. «А что будет если….?»). Назвать точное имя, кто первым придумал сценарный подход, является совершенно непростым делом.

Сценарии могут строиться любые: падение выручки, рост покупной стоимости товарно-материальных ценностей, необходимых для производства, падение спроса на товар и так далее. Последствия каждого сценария рассчитываются при каждом сценарии за счет средств комплексного финансового анализа. Вероятность определяется экспертным методом на основании комплексного математического исследования вопроса. Варианты построения сценариев в рамках данной книги мы с Вами рассматривать не будем. Вместо этого мы с Вами вкратце рассмотрим основные достоинства и недостатки метода.

Достоинства метода: 

Данный метод позволяет достаточно точно рассчитать величину текущих финансовых потребностей, а также сроки их возникновения.

Недостатки метода: 

У данного метода существует существенный недостаток. Прогноз всегда будет строиться на прошлых периодах, по которым тренд всегда будет получаться положительным. В противном случае, то есть если тренд получается отрицательным, то тогда встает вопрос – зачем вообще существует это предприятие, если оно из периода в период приносит только убытки. Это будет противоречить первой аксиоме финансового менеджмента, согласно которой все субъекты хозяйствования всегда ведут себя как Homo Economicus, то есть, предельно рационально. Расхождения в рациональности возможны только в случаях оценки субъективных значений вероятностей наступления определенного события, а также в склонности к риску, но не в создании неприбыльного предприятия. 

Метод показывает точно банкротство только у кризисных предприятий.

Иными словами, данный метод по своей сути предполагает, что трендовый анализ будет в целом положительным и не учитывает ни стратегических факторов развития предприятия, ни форс-мажорного фактора.